1. 量子化观念的提出和发展
众所周知,量子化概念最早是由普朗克在解释黑体辐射时提出,随后爱因斯坦进一步建立光量子概念并成功解释了光电效应,后由康普顿用X射线与自由电子相互作用证实了爱因斯坦光量子及其能量、动量关系式的正确性。此外,玻尔在研究原子结构问题时也提出了能量量子化的概念,并建立了新的原子结构模型。
1.1 普朗克的能量子概念
普朗克鉴于黑体辐射早期的维恩公式和瑞利公式都难以给出在全谱段与实验相符合的结果,发现根源在于采用了经典物理的连续能量关系。为了克服理论与实验的矛盾,普朗克大胆地、创造性地提出了能量子的概念:黑体辐射能量是不连续的、一份一份的,且每份能量与频率成正比,可表示为E=nh,这里n为整数,比例因子h就是著名的普朗克常数。虽然该关系式“离经叛道”般地抛弃了根深蒂固的经典物理连续能量观念,但是它却完美地解释了黑体辐射,从而揭开了量子力学新时代的序幕。
1.2 爱因斯坦的光量子观念
能量子概念提出后,爱因斯坦受到启发并进一步提出光量子的概念,认为电磁波(光)的能量是不连续的、量子化的,称为光量子(简称光子),其能量和动量关系分别为E=h,P=h c/h /,即光子的能量与频率成正比,动量与波长成反比。由于光子只能整个地被吸收或发射,因而充分体现了光的粒子性。此外,光子概念还从根本上纠正了经典力学中波能量必须依赖于波强度的观点,指出光的强度实际上只表示单位时间内投射到单位面积上的光子数,而与光子能量无关,因此很好地解释了光电效应。量子化的观念极大地丰富了人们对光本性的认识,即光具有波粒二象性。不久,康普顿对X射线与自由电子相互作用进行了分析,他把这一过程看成是光子与电子的碰撞,并满足能量和动量守恒关系,而基于爱因斯坦光子能量和动量关系得到的散射光波长改变与散射角的康普顿公式与实验完全符合,从而有力地证实了爱因斯坦光量子概念的正确性。
1.3 玻尔原子论中的量子化观念
经典理论所面临的困难之一是氢原子线状光谱和稳定性。当时人们在经典连续能量观念下始终无法理解为什么会观测到分立的线状谱;而经典电动力学又断言加速运动的带电粒子会向外发射电磁辐射,电子能量的不断损失本来应当最终使其陷入原子核而引起原子崩溃。为了解释上述疑难,玻尔创造性地提出了伟大的三步曲:能量量子化、定态和频率条件,指出原子中的电子处于一系列分立的能量状态(称为能级),这些状态是稳定的,并不向外辐射能量(称为定态);电子在不同能级之间跃迁所对应的电磁辐射频率依赖于二者的能级差。在能量和角动量量子化基础上建立的圆周运动图象可以得到与实验相符合的基态能量等信息,从而很好地解决了氢原子的线状光谱和稳定性问题。玻尔原子论虽然还不是严格的量子力学理论,但是其光辉的物理思想为后来量子力学的建立和发展奠定了坚实的基础。
2.1 一维无限深方势阱
在该体系中,量子化主要源于势阱对粒子的约束,而势阱边界处波函数连续这一边界条件直接导致粒子波矢或能量只能取与势阱宽度有关的分立值kn或En(这里n为正整数)。此时的波函数可方便地描述为一种驻波形式,类似于两端固定弦振动和谐振腔内电磁波震荡产生的驻波,而允许的驻波频率也表现出量子化的特征。
2.2 一维谐振子
与一维无限深方势阱不同的是,一维谐振子的势场连续且无边界,故其能量量子化并非源于势场边界处波函数连续性条件。针对这一抛物线型势场,先得到薛定格方程的渐近解,再将波函数未知部分在零点作泰勒展开,由无穷远处波函数有界性要求级数必须截断于有限项,即从某项开始分子便为零,而与能量有关的参数?必须为奇数,这样能量必须取不连续的分立值En。可见,一维谐振子的量子化主要来自于波函数的有界性的要求。
2.3 氢原子
氢原子中的电子属于中心力场(库仑场)情形。该问题的求解经过两体问题简化、分离变量得到与原子结构密切相关的相对运动方程,再将其分为角度部分和径向部分。对与能量有关的径向方程,仍然先得到趋于零和无穷远处的渐近解,再将解的剩余部分化为满足合流超几何方程的形式,其解为合流超几何函数。由无穷远处波函数有界要求级数必须中断于一个多项式,并引入与能量有关的主量子数n,而能量En与n平方成反比。可见,氢原子的能量量子化仍来自于波函数有界性的要求。
由此束缚体系中边界条件或无穷远处波函数有界性是导致量子化的物理根源,并据此说明量子化主要源于微观粒子所受到的束缚(即非自由的状态)。从更大的起源来看，可以说是由于微观粒子具有波粒二象性，由于微观粒子的这种特性，导致束缚态下，粒子状态和能量的不连续变化，也就是产生量子化的物理根源。
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